Planolandia

Hay un pequeño libro, escrito hace ya casi un siglo, del que es autor el entonces director de la City of London School, reverendo Edwin A. Abbott. 

Planolandia es una narración puesta en boca del habitante de un mundo bidimensional, es decir, de una realidad que sólo tiene longitud y anchura, pero no altura. Es un mundo plano, como la superficie de una hoja de papel, habitado por líneas, triángulos, cuadrados, círculos, etc. Sus moradores pueden moverse libremente sobre (o, por mejor decir, en) esta superficie, pero, al igual que las sombras, ni pueden ascender por encima ni descender por debajo de ella. No hace falta decir que ellos ignoran esta limitación, porque la idea de una tercera dimensión les resulta inimaginable.

El narrador de nuestra historia vive una experiencia totalmente conturbadora, precedida de un sueño singular. En este sueño, se ve trasladado de pronto a un mundo unidimensional, cuyos habitantes son puntos o rayas. Todos ellos se mueven hacia adelante o hacia atrás, pero siempre sobre una misma línea, a la que llaman su mundo. A los habitantes de Linelandia les resulta totalmente inconcebible la idea de moverse también a la derecha o a la izquierda, además de hacia adelante o hacia atrás. En vano intenta nuestro narrador, en su sueño, explicar a la raya más larga de Linelandia (su monarca) la realidad de Planolandia. El rey le toma por loco y ante tan obtusa tozudez nuestro héroe acaba por perder la paciencia:

¿Para qué malgastar más palabras? Sábete que yo soy el complemento de tu incompleto yo. Tú eres una línea, yo soy una línea de líneas, llamada en mi país cuadrado. Y aun yo mismo, aunque infinitamente superior a tí, valgo poco comparado con los grandes nobles de Planolandia, de donde he venido con la esperanza de iluminar tu ignorancia.

Ante tan delirantes afirmaciones, el rey y todos sus súbditos, puntos y rayas, se arrojan sobre el cuadrado a quien, en este preciso instante, devuelve a la realidad de Planolandia el sonido de la campana que le llama al desayuno.

Pero aquel día le tenía aun reservada otra molesta experiencia: El cuadrado enseña a su nieto, un exágono, los fundamentos de la aritmética y su aplicación a la geometría. Le enseña que el número de pulgadas cuadradas de un cuadrado se obtiene sencillamente elevando a la segunda potencia el número de pulgadas de uno de los lados.

El pequeño exágono reflexionó durante un largo momento y después dijo: «También me has enseñado a elevar números a la tercera potencia. Supongo que 3 elevado a la 3 debe tener algún sentido geométrico; ¿cuál es?» «Nada, absolutamente nada», repliqué yo, «al menos en la geometría, porque la geometría sólo tiene dos dimensiones.» Y luego enseñé al muchacho cómo un punto que se desplaza tres pulgadas genera una línea de tres pulgadas, lo que se puede expresar con el número 3; y si una línea de tres pulgadas se desplaza paralelamente a sí misma tres pulgadas, genera un cuadrado de tres pulgadas, lo que se expresa aritméticamente por 3 al cuadrado.

Pero mi nieto volvió a su anterior objeción, pues me interrumpió exclamando: «Pero si un punto, al desplazarse tres pulgadas, genera una línea de tres pulgadas, que se representa por el número 3, y si una recta, al desplazarse tres pulgadas paralelamente a sí misma, genera un cuadrado de tres pulgadas por lado, lo que se expresa por 3 elevado a la 2, entonces un cuadrado de tres pulgadas por lado que se mueve de alguna manera (que no acierto a comprender) paralelamente a sí mismo, generará algo (aunque no puedo imaginarme qué), y este resultado podrá expresarse por 3 elevado a la 3.»

«Vete a la cama», le dije, algo molesto por su interrupción. «Tendrías más sentido común si no dijeras cosas tan insensatas».

Y así, el cuadrado, sin haber aprendido la lección de su precedente sueño, incurre en el mismo error de que había querido sacar al

rey de Linelandia. Pero durante toda la tarde le sigue rondando en la cabeza la charlatanería de su nieto y al fin exclama en voz alta:

«Este chico es un alcornoque. Lo aseguro; 33 no puede tener ninguna correspondencia en geometría.» Pero de pronto oye una voz: «El

chico no tiene nada de alcornoque y es evidente que 33 tiene una correspondencia geométrica.» Es la voz de un extraño visitante, que

afirma venir de Espaciolandia, de un mundo inimaginable, en el que las cosas tienen tres dimensiones. Y al igual que el cuadrado en su

sueño anterior, el visitante se esfuerza por hacerle comprender la realidad tridimensional y la limitación de Planolandia comparada con

esta realidad. Del mismo modo que el cuadrado se definió ante el rey de Linelandia como una línea compuesta de muchas líneas,

también ahora este visitante se define como un círculo de círculos, que en su país de origen se llama esfera. Pero naturalmente el

cuadrado no puede comprenderlo, porque ve a su visitante como un círculo, aunque ciertamente dotado de muy extrañas e inexplicadas

cualidades: aumenta y disminuye, se reduce a veces a un punto y hasta desaparece del todo. Con extremada paciencia le va explicando

la esfera que todo esto no tiene nada de singular para él: es un número infinito de círculos, cuyo diámetro aumenta desde un punto a

trece pulgadas, colocados unos encima de los otros para componer un todo. Si, por tanto, se desplaza a través de la realidad

bidimensional de Planolandia, al principio es invisible para un habitante de este país, luego, apenas toca la superficie, aparece como un

punto y al fin se transforma en un círculo de diámetro en constante aumento, para, a continuación, ir disminuyendo de diámetro hasta

volver a desaparecer por completo (figura 14).

Figura 14

Esto explica también el sorprendente hecho de que la esfera pueda entrar en la casa del cuadrado aunque éste haya cerrado a ciencia

y conciencia las puertas. Entra, naturalmente, por arriba. Pero el concepto de «arriba» le resulta tan extraño al cuadrado que no lo

puede comprender y, en consecuencia, se niega a creerlo. Al fin, la esfera no ve ninguna otra solución más que tomar consigo al

cuadrado y llevarlo a Espaciolandia. Vive así una experiencia que hoy calificaríamos de trascendental:

Un espanto indecible se apoderó de mí. Todo era oscuridad; luego, una vista terrible y mareante que nada tenía que ver con el ver;

vi una linea que no era línea; un espacio que no lo era; yo era yo, pero tampoco era yo. Cuando pude recuperar el habla, grité con

mortal angustia: «Esto es la locura o el infierno.» «No es ni lo uno ni lo otro», me respondió con tranquila voz la esfera, «es saber;

hay tres dimensiones; abre otra vez los ojos e intenta ver sosegadamente» [4].

A partir de este instante místico, los acontecimientos toman un rumbo tragicómico. Ebrio por la formidable experiencia de haber

penetrado en una realidad totalmente nueva, el cuadrado desea explorar los misterios de mundos cada vez más elevados, de mundos de

cuatro, cinco y seis dimensiones. Pero la esfera no quiere ni oír hablar de semejantes dislates: «No existe tal país. Ya la mera idea es

totalmente impensable.» Pero como el cuadrado no ceja en sus deseos, la esfera, encolerizada, le devuelve a los estrechos límites de

Planolandia.

En este punto, la moraleja de la historia cobra perfiles sumamente realistas. El cuadrado se siente llamado a la gloriosa y acuciante

tarea de predicar en Planolandia el evangelio de las tres dimensiones. Pero cada vez le resulta más difícil despertar en sí el recuerdo de

aquella realidad tridimensional que al principio tan clara e inolvidable le parecía; además, fue muy pronto encarcelado por el equivalente

de la inquisición de Planolandia. Pero en vez de acabar sus días en la hoguera, es condenado a cadena perpetua y encerrado en una

cárcel que Abbott describe, con admirable intuición, como fiel contrapartida de ciertos establecimientos psiquiátricos de nuestros

mismos días. Una vez al año, le visita en su celda el Círculo Supremo, es decir, el sumo sacerdote, para averiguar si mejora su estado de

salud mental. Y cada año, el pobre cuadrado no puede resistir la tentación de intentar convencer al Círculo Supremo de que existe

realmente una tercera dimensión. Pero el sacerdote menea la cabeza y desaparece hasta el año siguiente.